Teorema da divisão inteira – Prova

Nos vídeos a seguir falo sobre o teorema da divisão inteira, o algoritmo da divisão, ou ainda, algoritmo da divisão de Euclides.

O teorema da divisão inteira é importantíssimo para quem estuda Álgebra Abstrata, além de ser útil também para o estudo de Teoria dos Números.

Este teorema diz que para qualquer par de números inteiros ab, sendo b > 0, sempre é possível escrever

render (1)

com r restrito ao intervalo

render.

O primeiro vídeo trata da prova da existência de tal q e, consequentemente, da do r também.
O segundo vídeo é sobre a unicidade dos mesmos.

Latim e Matemática? Para quê?

“Antes de mais nada é preciso aprender a pensar; e para pensar certo, eu creio no poder das humanidades: latim e grego”.
(Gal. Eisenhower, presidente dos Estados Unidos)

Filologia... - CópiaSou estudante de latim há anos. Quando comecei a aprender a língua de Cícero não fazia idéia de quantas vantagens ser-me-iam dadas por bônus ao conhecer o idioma que é pai da nossa língua.

Creio ser desnecessário citar a cultura que se adquire ao estudá-lo, afinal, si hoc legere scis, nimium eruditionis habes. Era assim antes e o é ainda hoje em dia.

As vantagens de se estudar a língua do Lácio vêm pela estrutura do idioma, diferente da que estamos acostumados; pela disciplina que exige do aluno e que o ajuda a ser mais concentrado e organizado; pelo raciocínio necessário para bem entender uma mensagem latina e mesmo para utilizar um dicionário ou uma gramática latinas. E as benesses vão além de tudo isto.

Que o estudo do latim auxilia no entendimento das línguas românicas, como o francês, o italiano, o espanhol e o nosso português, isto ninguém nega. Ganha-se ainda, ao estudar o latim, uma ajuda no estudo de outras línguas ainda que não sejam derivadas do latim, como o grego e o alemão. O que muitos, porém, não sabem, e que chamou a minha atenção, é o fato de o latim ajudar a “pensar fora caixa”, o que auxilia no desenvolvimento do raciocínio lógico, útil para a Matemática e áreas afins.

Sim, a matemática! A frase do matemático italiano G. Albanese pode soar estranha para quem nunca ouviu falar do potencial do Latim. Ei-la a seguir:v8n22a08f1

“Dêem-me um bom aluno de Latim, que farei dele um grande matemático.” (Giácomo Albanese, prof. de Matemática da USP)

Outros dois estudiosos que vieram ao Brasil, Luigi Fontapie e Gleb Wataghin, ficaram impressionados com o sem-número de fórmulas de Matemática decoradas pelos alunos brasileiros, além da pobreza de raciocínio lógico, chegando, inclusive, a enviar um ofício ao então ministro da educação.

Um trecho segue.

“Chegados ao Brasil, ficamos admirados com o cabedal de fórmulas decoradas de Matemática com que os estudantes brasileiros deixam o curso secundário, fórmulas que na Itália são ensinadas só no segundo ano de faculdade: ficamos, porém, chocados com a pobreza de raciocínio, com a falta de ilação dos estudantes brasileiros; pedimos a V. Excelência que, na reforma que se projeta, se dê menos Matemática e MAIS LATIM no curso secundário, para que possamos ensinar Matemática no curso superior.” (Destaques em negrito meus.)

A mensagem do Gal. Eisenhower que encabeça este post vem-nos à mente ao ouvirmos o pedido destes professores. Precisamos acabar com esta história de que matemático é calculadora e que o que fazemos são contas e mais contas o dia inteiro. O que um matemático faz é pensar, procurar padrões, provar e refutar assertivas.

 “O estudo do latim é uma preparação utilíssima para o estudo das matemáticas”.
(H. Poincaré, grande matemático francês)

O ensino de matemática no Brasil ainda é, infelizmente, algo distante do que ela explora: o raciocínio. De fato, aulas de matemática no sistema de ensino brasileiro mais parecem exercícios de teatro em que sai-se bem quem consegue decorar com mais facilidade.

Não fosse importante, ou mesmo útil, o estudo da língua latina, engenheiros não teriam de passar anos estudando a mesma. Isto sucedia na Áustria. Quem queria seguia os estudos, fazendo curso superior, estudava latim por sete anos.

Para disciplinar o estudante, aprimorar o seu raciocínio, habituá-lo à análise, recomendo o estudo do latim.

Vai lá, campeão! Comece hoje mesmo a declinar rosa, rosæ! Torne-se mais culto, aprimore seu cérebro!

Encerro com um trecho do texto introdutório da gramática do Napoleão Mendes de Almeida [2].

Não encontra o pobre ginasiano brasileiro quem lhe prove ser o Latim, dentre todas as disciplinas, a que mais favorece o desenvolvimento da inteligência. Talvez nem mesmo compreenda o significado de “desenvolver a inteligência”, tal a rudeza de sua mente, preocupada com outras coisas que não o estudo.

O hábito da análise, o espírito de observação, a educação do raciocínio dificilmente podemos, pobres professores, ou melhor, ditadores de pontos de exame, conseguir de um menino preocupado tão só com médias, com férias, com bolas, com revistas.

Referências:

[1] COMBA, Pe. Júlio. Programa de Latim. Primeiro volume: Introdução à Língua latina. – 7ª ed – Editora Salesiana Dom Bosco, 1984.

[2] ALMEIDA, Napoleão Mendes de. Gramática latina: curso único e completo. – 29ª ed. – São Paulo: Saraiva, 2000.

Sequência de Fibonacci em C. Recursivo, iterativo e direto.

No primeiro vídeo a seguir, faço a implementação de uma função que retorna o n-ésimo termo de uma sequência de Fibonacci. A primeira implementação é de maneira recursiva; a segunda, de maneira iterativa.

No tutorial, explico o raciocínio, ensinando como proceder na abordagem do problema, deixando cada um implementar ao seu gosto e na linguagem que quiser, apesar de eu usar C neste vídeo.

Há ainda uma comparação do tempo de resposta de cada uma.

Para saber mais sobre equações de recorrência e como otimizá-las, clique aqui.

Já no vídeo abaixo, vemos uma implementação com a otimização obtida pela resoluação da equação de recorrência da sequência de Fibonacci.

Otimização de equação de recorrência

Devido à escassez de material, na internet, sobre equações de recorrência – bem como sua otimização – e considerando a complexidade e importância de tal tema, resolvi publicar um material que fiz com anotações de aulas de Matemática Finita, na UFC.

Eis a primeira apresentação de slides. E logo abaixo, o link para quem quiser baixa-lo, em .pdf.

Link para baixar os slides.

Equações de recorrência lineares a coeficientes constantes e homogêneas: link.
(Linear homogeneous recurrence equations with constant coefficients.)

Equações de recorrência lineares a coeficientes constantes e não-homogêneas: link.
(Linear non-homogeneous recurrence equations with constant coefficients.)

Equações de recorrência não-lineares homogêneas e não-homogêneas: link.
(Non-linear homogeneous equations, and non-homogeneous recurrence equations.)

Agradecimento ao prof. Rafael Castro!